Ogni elezione produce vincitori e vinti, ma a volte risultati sorprendenti o deludenti possono portarci a chiederci quanto siano realmente equi i nostri metodi di voto. Alcuni sostengono che i sistemi first-past-the-post (FPTP) siano ingiusti, poiché i vincitori spesso ottengono molto meno del 50% dei voti. Altri sostengono che la via da seguire sia il voto per scelta classificata, la rappresentanza proporzionale o il voto di approvazione. Sicuramente ci deve essere un sistema che sia il più giusto? Sorprendentemente, la matematica dice il contrario.
Consideriamo un semplice esempio:
“Alcuni sostengono che i sistemi first-past-the-post (FPTP) siano ingiusti, poiché i vincitori spesso ottengono molto meno del 50% dei voti”
In una piccola città di 100 abitanti dove tutti votano, ci sono tre candidati: chiamali Alice, Ben e Chloe. Supponiamo che gli elettori votino in tre modi distinti: 40 elettori classificano i candidati Alice > Ben > Chloe, 35 hanno la loro classifica come Ben > Chloe > Alice e gli ultimi 25 classificano Chloe > Ben > Alice. Chi dovrebbe vincere? Bene, ci sono diversi modi per determinare un vincitore. Con FPTP, Alice vince, con 40 elettori che la sostengono come prima scelta, rispetto ai 35 e 25 rispettivamente di Ben e Chloe. Tutto bene, ma che dire dei 60 elettori che hanno piazzato Alice all’ultimo posto?
Allora proviamo qualcos’altro: utilizzeremo il deflusso istantaneo. Chloe ha il minor numero di elettori a suo favore, quindi è fuori. I 25 elettori che hanno classificato Chloe al primo posto hanno Ben come seconda scelta, quindi i loro voti vengono trasferiti a lui. Alice rimane su 40 voti, mentre il totale di Ben sale a 60. Tenendo conto delle preferenze di backup, ora otteniamo un risultato completamente diverso.
Infine, proviamo i confronti a coppie. Confronta Alice con Ben: Alice è preferita dai primi 40 elettori, e Ben dai restanti 60, quindi Ben batte Alice. Ora confrontiamo Ben con Chloe: 75 elettori preferiscono Ben mentre 25 preferiscono Chloe. Quindi Ben vince, poiché ha battuto ogni candidato a coppie. Come possiamo vedere, il “vincitore” dipende dal sistema di voto.
“La conclusione cruciale del teorema di Arrow è che i compromessi devono essere fatti in ogni caso”
L’economista americano Kenneth Arrow si è occupato di questo argomento; voleva capire se esistesse o meno una funzione matematica – chiamata funzione di benessere sociale – che prendesse le preferenze di ciascun elettore e le mappasse in un’unica classifica generale, soggetta ad alcune condizioni.
Il primo è l’efficienza paretiana: se ogni elettore preferisce A a B, allora A dovrebbe avere un posto più alto di B nell’ordinamento finale. La seconda è la non dittatura: come suggerisce il nome, questa funzione non dovrebbe dipendere solo dal profilo di preferenza di un elettore. Il terzo è l’indipendenza delle alternative irrilevanti: quando si confrontano i candidati A e B, la posizione relativa di un terzo candidato, C, non dovrebbe influenzare il risultato.
Nel 1950 Arrow dimostrò che tale funzione non esiste. Questo risultato, ora noto come teorema di impossibilità di Arrow, afferma che ogni sistema di voto deve fallire almeno una di queste condizioni apparentemente ragionevoli. L’FPTP privilegia maggioranze rapide e decisive sacrificando un ampio accordo. Il ballottaggio immediato dà priorità (in termini vaghi) all’ampio sostegno di un candidato ma non riesce a garantire l’indipendenza delle alternative irrilevanti. I confronti a coppie enfatizzano le maggioranze rinunciando alla transitività dei voti.
Inoltre, tutti i sistemi di voto comportano il rischio di un voto tattico: il modo in cui le persone votano può dipendere non solo dalle loro preferenze, ma anche da come pensano che voteranno gli altri. Nel tentativo di votare in modo strategico, il confronto tra i candidati A e B potrebbe essere influenzato dalla posizione del candidato C, violando la terza condizione di Arrow.
Cosa significa questo per le nostre elezioni, allora? Per i non matematici, la conclusione cruciale del teorema di Arrow non è che un particolare sistema di voto sia necessariamente ingiusto, ma che in ogni caso devono essere fatti dei compromessi. La domanda allora diventa: quali imperfezioni siamo disposti ad accettare?
